1. Hàm Phân Bố Tích Lũy Đồng Thời (JCDF)
Nền tảng của phân tích đa biến là Hàm Phân Bố Đồng Thời $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Nó xác định xác suất mà nhiều điều kiện được thỏa mãn cùng một lúc.
$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$
Công thức này biểu diễn xác suất mà mỗi biến $X_i$ nằm dưới ngưỡng tương ứng $a_i$ đồng thời. Về mặt hình học, trong hai chiều, đây là xác suất để cặp ngẫu nhiên $(X, Y)$ nằm trong hình chữ nhật bán vô hạn ở phía dưới bên trái điểm $(a, b)$.
2. Cách Hiểu Mật Độ Thông Qua Vô Cùng Nhỏ
Đối với các biến liên tục, chúng ta mô tả xác suất thông qua một Hàm Mật Độ Xác Suất Đồng Thời (JPDF), $f(x, y)$. Khác với trường hợp rời rạc, xác suất tại một điểm đơn lẻ là bằng không. Thay vào đó, chúng ta xem xét các vùng vô cùng nhỏ:
- Xác suất để một cặp $(X, Y)$ rơi vào một hình chữ nhật nhỏ được cho bởi:
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$ - Hoặc có thể viết dưới dạng khác: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$
Điều này tiết lộ rằng $f(x, y)$ là một "mật độ" so với diện tích của vùng trong mặt phẳng tọa độ Cartesian.
3. Phụ Thuộc và Các Rào Cản Hình Học
Trong xác suất, Các biến ngẫu nhiên không độc lập được gọi là phụ thuộc. Điều này không chỉ là một tính chất đại số; nó thường xuất hiện rõ ràng trong miền xác định của phân bố.
Xét một điểm $(X, Y)$ được chọn đều trong một hình tròn bán kính $R$ tâm tại $(0,0)$. Các biến $X$ và $Y$ là phụ thuộc vì biết $X = x$ sẽ giới hạn các giá trị có thể của $Y$.
Nếu $X$ gần $R$, thì $Y$ phải gần $0$. Về mặt toán học, $Y$ bị ràng buộc: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Biên giới này là nguyên nhân khiến mật độ đồng thời không thể phân tích thành các mật độ biên độc lập.